平行四辺形の法則とは？計算・証明と角度
平行四辺形の法則とは、2つのベクトル（力）の和が、それらを2辺とする平行四辺形の対角線で表される、というベクトル合成の基本法則です。
法則の内容
同じ点に働く2力 F₁・F₂ の合力 R は、F₁・F₂ を2辺とする平行四辺形の対角線になります。これは力に限らず、速度・加速度などすべてのベクトルに成り立ちます。
合力の大きさ（計算）
2力のなす角をθとすると、対角線の長さ（合力）は次式です。
R ＝ √(F₁² ＋ F₂² ＋ 2·F₁·F₂·cosθ)
証明（余弦定理）
POINT
平行四辺形の対角線を1辺とする三角形を考えます。三角形の2辺が F₁・F₂、その間の角は 180°−θ（平行四辺形の隣り合う角の和は180°）です。余弦定理 R²＝F₁²＋F₂²−2F₁F₂cos(180°−θ) に cos(180°−θ)＝−cosθ を代入すると、R²＝F₁²＋F₂²＋2F₁F₂cosθ が導けます。
角度との関係
- θ＝0°（同じ向き）：R＝F₁＋F₂（最大）。
- θ＝90°（直交）：R＝√(F₁²＋F₂²)。
- θ＝180°（逆向き）：R＝|F₁−F₂|（最小）。
まとめ
- 平行四辺形の法則：2ベクトルの和は平行四辺形の対角線。
- 合力 R＝√(F₁²+F₂²+2F₁F₂cosθ)。余弦定理で証明できる。
- 同じ向きで最大、逆向きで最小、直交で√(F₁²+F₂²)。
